"Sejarah Matematika"

Sejarah Aljabar Arab

11 Mei 2014

Documented by Arvi Sintia

Sejarah matematika Islam dimulai dengan sungguh-sungguh semenjak kehidupan al-Ma’mun (786–833). Meskipun al-Ma’mun figure penting dalam sejarah aljabar, tetapi ia bukan ahli matematika. Ia adalah putera Harun ar-Rashıd Khalifah ke-5 masa (dinasti) Abbasiyah dengan ibu kota kerajaannya di Bagdad. Setelah ayahnya meninggal dunia al-Ma’mun menggantikan kedudukan ayahnya menjadi Khalifah.

Pada awal abad 9 Khalifah al-Ma’mun membangun akademi “ house of Wisdom” (Bait al-Hikmah) di Bagdad. Salah seorang ahli matematika pertama yang bergabung dengan institut ini adalah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (825 A.D). Ia berasal dari daerah Selatan laut Aral di Asia Tengah. Beliau mentranslet naskah-naskah ilmiah dari Yunani ke dalam bahasa Arab dan juga belajar serta menulis tentang aljabar, geometrid dan astronomy. Al-Khwarizmi mempersembahkan dua tulisannya kepada khalifah Al-ma’mun yaitu tentang aljabar dan astronomi. Dari semua karya al-Khwarizmi, yang paling terkenal adalah buku   Hisab al-jabr w’al-muqabalah. Dalam buku ini kata “al-jabar” pertama kali diperkenalkan.

Buku ini yang pertama mengkaji penyelesaian persamaan linier dan kuadratik secara sistematis. Namun semuanya masih diungkap dengan kata-kata, sesekali menggunakan lambang bilangan, belum mengembangkan simbol-simbol al-jabar. Al-Khwarizmi tidak mengenal nol dan negative. Bagian pertama buku ini berjudul solusi dari persamaan. Persamaan itu adalah linier dan kuadrat yang disusun oleh unsur-unsur; unit, akar dan kuadrat. Sebuah unit adalah sebuah bilangan, sebuah akar diekspresikan dengan x dan sebuah kuadrat diekspresikan dengan x².

Al-Khwarizmi mereduksi suatu persamaan (linier atau kuadrat) ke dalam salah satu bentuk dari 6 bentuk standar:

1.    Kuadrat sama dengan akar

2.   Kuadrat sama dengan bilangan

3.   Akar sama dengan bilangan

4.   Kuadrat dan akar sama dengan bilangan; contoh: x² + 10x =39

5.   Kuadrat dan bilangan sama dengan akar; contoh: x² + 21=10x

6.   Akar dan bilangan sama dengan kuadrat; contoh: 3x + 4 = x²

Reduksi tersebut mengandung dua operasi yaitu, aljabar dan al-muqabalah. Di sini aljabar berarti “penyelesaian” yaitu, memindahkan bentuk negative dari suatu persamaan. Sebagai contoh; x² = 40x – 4x² diubah menjadi 5x² = 40x. Al-muqabalah berarti “penyeimbangan” yaitu, proses mereduksi bentuk positif sehingga kedudukan kedua sisi suatu persamaan seimbang. Contoh; 50 + 3x + x² = 29 + 10x diubah menjadi 21 + x² = 7x (pada contoh ini terdapat dua penerapan al-muqabalah pertama; memindahkan bilangan dan kedua; memindahkan akar).

Al-Khwarizmi memberikan suatu solusi yang komplit dari setiap bentuk persamaan kuadrat di atas. Temuannya yang luar biasa dan menarik perhatian adalah ia mengetahui bahwa persamaan kuadrat mempunyai dua solusi. Dan yang lebih menarik lagi adalah al-Khwarizmi tidak menenyakan berapakah akar dari dari suatu persamaan kuadrat, akan tetapi ia menanyakan berapakah kuadrat dari akar suatu persamaan kuadrat. Sehingga solusi dari suatu persamaan kuadrat tidak hanya berhenti pada saat akarnya didapatkan, tetapi dilanjutkan dengan mencari kuadrat dari akar yang didapatkan. Berikut ini adalah persoalan yang dikemukakan oleh al-Khwarizmi yang diekspresikan dalam notasi matematika modern.

Contoh 1. Persamaan :            x² + 21 = 10x

Solusi persamaan kuadrat ala al-Khwarizmi.

Tentukan setengah dari bilangan akar yaitu:   ½ x 10 = 5. Kalikan 5 dengan dirinya sendiri; 5×5=25. Kurangkan 25 dengan 21, sisanya adalah 4. Tentukan akar kuadrat dari 4, yaitu 2, dan kurangkan setengah bilangan akar (5) dengan 2, didapat 3. Inilah akar yang dicari yang kuadratnya adalah 9. Akar yang lain dapat diperoleh dengan menambahkan akar kuadrat (2) ke setengah bilangan akar (5) dan jumlahnya adalah 7, dan inilah akar yang kedua yang kuadratnya adalah 49.

Contoh 2. Persamaan :            x² + 10x = 39

Solusi persamaan kuadrat ala al-Khwarizmi.

Tentukan setengah dari bilangan akar yaitu: ½ x 10 = 5. Kalikan hasilnya dengan dirinya sendiri: 5×5=25. Kemudian tambahkan dengan 39, sehingga didapat 64. Akar 64 adalah 8, kurangkan 8 dengan 5 didapat 3, ini adalah akar yang dicari yang kuadratnya 9. Solusi ini dapat diekspresikan sebagai:

Bentuk ini merupakan bentuk rumus kuadrat atau rumus abc yang kita kenal sekarang.

Selain menggunakan metoda aljabar, al-Khwarizmi juga menggunakan metode geometri dalam menentukan solusi dari persamaan kuadrat. Misalnya untuk Contoh 2, solusi secara geometrinya menurut al-Khwarizmi adalah:

Sehingga panjang sisi persegi pada Gambar 3 adalah 8.

Matematikawan berikutnya adalah Umar al-Khayyam (1050 – 1123). Beliau lahir di Nesyhābūr (Nishāpur) sekarang adalah daerah bagian utara Irak. Setelah ±200 tahun kematian al-Khwarizmi, Umar al-Khayyam menghasilkan sebuah karya yang berjudul Al-jabr w’al-muqabalah. Karyanya ini sangat dipengaruhi oleh ide-ide dan karya al-Khawarizmi. Umar bahkan mangambil contoh yang digunakan dalam buku al-Khawarizmi yaitu Hisab al-jabr w’al-muqabalah. Pada tulisannya, Umar al-Khayyam menambahkan dengan bentuk persamaan pangkat tiga dan empat. Akan tetapi beliau belum berhasil menemukan metode aljabar untuk mendapatkan solusinya. Beliau menunjukkan solusinya dengan cara geometri.

Salah satu contoh menentukan solusi persamaan pangkat tiga ala Umar al-Khayyam dengan menggunakan irisan kerucut.

·         Ilustrasi: x³ + b² x = b²c

·         Konstruk parabola x² = by

·         Konstruk ½ lingk. , r = (c/2), pusat (c/2,0)

 Titik potong parabola dengan ½ linkaran (titik D) adalah akar dari pers pangkat tiga yang bersangkutan.